信号处理若干名词解释

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振动噪声信号处理时，经常出现一些令人混淆的名称，如宽带与带宽、谱线与线谱和相关分析与相干分析等等，特别是对初学者而言，更难于理解。在这，将对这些易混淆的名称进行解释说明，使你明白它们之间的区别与联系。

1. 模拟信号与数字信号

模拟信号是指在时间和幅值上都是连续变化的信号。表征的物理量是连续变化的，如某个位置的振动加速度、背景噪声、温度等。许多传感器输出的信号都是连续的模拟信号，但是模拟信号不能用于计算机处理。

数字信号指时间和幅值的取值都是离散的，用有限个离散的数字来表征连续变化的信号，则称为数字化。通常这些离散的数字用有限位（bit）的二进制数（0和1）来表示，方便计算机处理。

如下图所示，红色信号为随时间变化的连续模拟信号，为了方便在计算上处理这个信号，需要将它转化为数字信号，也就是从时间轴上对它进行采样。用这些离散的采样数据点（实心黑色点）来表征它，采样点之间的信息是没有的，因此，采样时会丢失很多信息。

模拟信号与数字信号

2. 时域与频域

采集到的信号都是随时间变化的数字信号，如下图所示为加速度随时间变化曲线。这个信号横轴为时间，也就是说信号的幅值随时间变化，因而，可以说信号是时间的函数，因此，把这个信号称为时域信号。故，时域是指以时间为变量的函数所在的域。

时域信号

对时域信号进行FFT变换，得到的结果是幅值随频率的变化曲线，也就是以频率为变量的函数，因此，频域是指以频率为变量的函数所在的域。

频域信号

3. 角度域与阶次域

对于旋转机械而言，如果采集信号的同时还采集了旋转轴的转速信号，那么，时间与角度是有对应关系的。因此，可以将时域信号转换到角度域，也就是说，此时信号是角度的函数，故，角度域是指以角度为变量的函数所在的域。

角度域的加速度信号

对角度域的信号作FFT变换，得到的结果是幅值随阶次变化的函数，此时信号的横轴是阶次。因此，阶次域是指以阶次为变量的函数所在的域，所下图所示。

阶次域结果

4. 传递函数与频响函数

以部分分式的形式写出单自由系统的传递函数，形如

因为传递函数是复值函数，所以传递函数是两个变量σ和ω的函数，这两个变量分别是复平面的实部和虚部。

如果我们考虑系统传递函数的切片——频响函数，那么在σ=0时估计这个函数，也就是说传递函数沿频率jω轴估计。那么我们可以写出频响函数，形如

如果我们对比传递函数和频响函数的表达式，会发现在传递函数中独立变量是"s=σ+jω"，而频响函数中独立的变量是"jω"，因此，频响函数是传递函数的子集。

另一方面，传递函数表示的是输出与输入之比，不仅仅用于模态分析，还可用于其他领域，可用于为任何信号生成传递函数。测量信号可以是一般的信号，如电路分析、声学测量、传导性测量等等。自变量的取值可以是复平面上任意实部与虚部，并且实部与虚部可以表征任何物理量。而频响函数是响应与激励之比。响应是振动、噪声或应变信号，输入信号为力，体积加速度等，频响函数的取值只是虚部，虚部表示的物理量一定是频率，而非其他物理量。

5. 拉普拉斯域与傅立叶域

通过上面已经明显传递函数和频响的区别。传递函数的自变量是实部和虚部，而频响函数的自变量仅仅是虚轴。现在如果我们绘出传递函数所对应的曲线图，该图将映射成一个曲面，因为这个函数是通过两个独立变量σ和ω定义的。因为这些数值是复数，所以，我们可以分别绘出它们的实部和虚部图，当然也可以绘出函数的幅值和相位图。如用幅值来表示，那么将如下图蓝色区域所示。

拉普拉斯域和傅立叶域

在这，传递函数的自变量取值个整个复平面，包括实部和虚部，因而，称以实部与虚部为自变量的函数所在的域为拉普拉斯域。之所以称为拉普拉斯域是因为对传递函数进行变换的方法是拉普拉斯变换。

如果我们考虑系统传递函数沿jω轴估计的幅值，并且将其投影到沿jω轴的切片平面上，那么我们将看到如上图所示的投影切片。而这正好是我们用FFT分析仪测量得到的曲线：频响函数。并且可以看出，这只有一个独立变量ω用于描述频响函数。同时，我们也注意到我们仅用一条曲线，而不是一个曲面来描述系统的频响函数。把以虚部（频率轴）为自变量的函数所在的域称为傅立叶域，之所以称傅立叶域，是因为变换方法为傅立叶变换。

频响函数是传递函数的特例，实际上我们也可以说傅立叶变换是拉普拉斯变换的特例。传递函数的自变量是整个复平面，也就是拉普拉斯域，而频响函数的自变量仅是沿虚轴，也就是沿频率轴，对应的是傅立叶域。

在这你可能会问：傅立叶域不就是沿频率轴变化，那么，它跟频域有什么区别呢？频域仅仅是随频率变化，是从实数的角度来考虑的。而傅立叶域是从复数的角度来考虑的，频率轴是以jω为变量，注意是复数j与频率ω的乘积。

6. 物理空间与模态空间

物理空间是指我们生活中的现实世界，而模态空间是指用模态来表征的模态坐标空间。从数学角度上讲，对物理空间上的运动方程通过特征值求解和模态变换方程，将这组物理空间上耦合的方程进行解耦，解耦后的方程为一组单自由度系统的运动方程，此时转换后的新坐标系统，称为模态空间。

因此，模态转换是将方程从物理空间通过模态转换方程转换到模态空间的过程；是将一组复杂的、耦合的物理方程转换成一组解耦的单自由度系统的过程。因而，我们可以将下图中的物理模型分解成一组单自由度系统，如图中所示的蓝色1阶、红色2阶和绿色3阶。模态空间使得我们更易于用单自由度系统去描述结构系统。

物理空间和模态空间

在物理空间上任一位置测量得到的响应实际上是当前结构所受的激励力所激起来的模态空间中的各阶模态在当前测量位置产生的响应的叠加。

以上各种域或空间：时域与频域、角度域与阶次域、模态空间和物理空间并没有实质性的不同，仅仅是形式不同而已。每个域只是描述或者察看数据更方便。然而，有时从一个域察看某些信息会比其他的域更容易、更便捷。比如，总的时域响应不能确定有多少阶模态对结构的响应有贡献，但是频域的总的频响函数就能清楚地显示有多少阶模态被激起和每一阶模态对应的频率是多少。因此，我们经常将数据从一个域变换到另一个域，仅仅是因为数据更易于解释某些问题。

7. 阶与阶次

描述结构的固有频率或模态，通常用阶，而描述旋转机械通常用阶次。阶次是结构旋转部件因旋转造成的振动或/和噪声的响应，这个阶次响应与转速和转频之间有对应关系。确切地说阶次是转速或转频的倍数，对转速保持不变。独立于轴的实际转速，是参考轴转速的倍数或者分数。而结构的振动噪声响应通常出现在转速的倍数或者分数处，也就是这些阶次处。

而“阶”是结构固有属性的一种描述方式，跟外界的激励是没有关系的，描述的是结构的固有频率或模态有多少“阶”或第几“阶”。并且，一般是针对结构而言的，该结构可以是旋转结构，也可以不是旋转结构。而阶次一定是针对旋转结构而言的，只有当结构处于旋转激励时，我们才谈阶次，此时，也经常将阶次简称阶，但不是我们描述结构固有属性所说的那个“阶”。

如下面左侧瀑布图中斜线是我们所说的某阶次，右侧垂直频率轴的亮线或峰值是共振频率，对应某阶固有频率。阶用来描述固有频率或模态，阶次用来描述响应与转速或转频的倍数关系。

阶次与共振频率

8. 共振频率与固有频率

共振是指系统受到外界激励时产生的响应表现为大幅度的振动，此时外界激励频率与系统的固有频率相同或者非常接近。共振是一种现象，共振发生时的频率称为共振频率。不管共振发生与否，结构的固有频率是不变的，而只有当外界的激励频率接近或等于系统的固有频率时，系统才发生共振现象。

当结构的阻尼非常小时，共振频率近似等于结构的固有频率，也是材料自身分子的自由振动频率。因而，单个共振是外界的激励频率等于或非常接近结构或材料的固有频率时，结构或材料发生大幅度的振动。当激励频率与固有频率相等或接近时，才发生共振。因而，共振频率不一定完全与固有频率相等，共振频率是从外界的激励频率来讲的，而固有频率是从结构属性来讲的。虽然很多情况下，都认为共振频率就是固有频率。

在频响函数曲线中，共振峰所对应的频率为结构的固有频率。但很多情况，共振不是发生在单一频率（固有频率）处，而是具有一定宽度的共振带。也就是存在一个频率区间，在这个区间内很容易发生共振。在colormap图中，经常可以看到如下所示的垂直频率轴的具有一定宽度的高亮区域，这个区域就是所谓的共振带区域。这个区域一定是在结构的某一阶固有频率附近。从下图可以看出，共振频率具有一定带宽，而结构的固有频率一定是一个单值频率。

共振带

9. 基频与主频

基频是指结构的第一阶固有频率。结构发生振动时，通常不会是以某一个频率振动，而是有多个振动频率，通常在这些振动频率中，能量最大的振动频率称为主频。因此，这个主频可能是结构的固有频率，也可能是强迫响应频率。

如下图所示的PSD曲线中，存在三个峰值（假设都是固有频率），因而这三个峰值对应三阶固有频率，其中最低阶的固有频率为基频，峰值最大的频率为主频。基频一定是固有频率，主频可能不一定是结构的固有频率，主频主要看的是能量的大小。因为我们知道，当结构产生强迫振动时，振动的频率是与外界激励频率相等的，但此时，这个激励频率很大程度上不是结构的固有频率，而它的能量又是最大的，此时，主频就不是固有频率。

频谱图

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10. AC与DC

AC和DC是交流和直流耦合的简称，在选择输入模式时，可能选择不同的耦合方式会影响到数据中的频率成分。大多数信号都有AC成分和DC成分，DC成分是0Hz的部分，对应时域信号中的直流分量（或称为直流偏置），AC成分是信号中的交变部分，包含信号中所有的非零频率成分，如下图所示。

信号AC与DC

如上图所示，交变的AC部分围绕DC偏置波动，有时称这个直流分量DC部分为基线，即信号围绕基线波动。对直流偏置进行FFT分析，得到0Hz的成分。对交变部分进行FFT分析，则得到信号中的非零频率成分。

AC耦合只允许信号中的交变部分通过，将移除信号中的直流分量（DC部分），通常使用隔直电容器实现。AC耦合可有效地阻隔掉信号中的DC部分，使信号的平均值为0。DC耦合同时允许信号中的交变部分（AC）和直流分量（DC）通过。因此，当选择不同的耦合方式时，会影响到信号中直流偏置（实际上还有少量低频成分）。

11. 带宽与宽带

FFT分析时，信号分析的最大频率范围称为带宽，通常是采样频率的一半，如下图所示，分析的最高频率为4096Hz，因此，带宽为4096Hz。也就是说带宽是频谱分析时能观测到的最大频率上限。

PSD曲线

宽带是指信号的频率分布，若信号频率范围很广（信号频率成分是连续的），可以认为是一个宽带信号。对于锤击法而言，则是一种宽带激励技术，这是因为力脉冲对应的力谱是一个连续的宽频信号，能激起很宽的频率区间内的模态。

带宽和宽带都可以认为是一个频率区间，但带宽一定是指这样一个频率区间：0-半个采样频率；而宽带是指信号的频率分布在一个连续的宽频带。

12. 宽带与窄带

与宽带相对应的是窄带，假设信号的频率宽度为B，中心频率为f0，如下图所示。通常认为窄带信号满足以下要求：信号的频率宽度B远小于中心频率f0，通常要求B/f0<0.1。例如，单频信号则属于窄带信号，以及我们大多数情况下测量的信号只包含若干个单频成分，那么这也是窄带信号，对应的频谱称为窄带谱。如使用步进正弦进行激励时，则这种激励技术是一种窄带激励技术，因为每一时刻只有一个频率成分。

信号频率示意

另外，也可以从频率成分来理解宽带与窄带，若信号相邻频率成分相差很小，则可认为是一个宽带信号，如宽带随机信号；若相邻频率成分相差甚远，则属于窄带信号，如正弦信号。

宽带与窄带并没有严格的区分，如信号频率宽度多少以下为窄带，多少以上为宽带。因此，二者是一个相对的概念。

13. 谱线与线谱

FFT分析得到的频谱不是连续的，而是离散的，相邻两个离散频率点的间距为一个频率分辨率，这些离散的频率点对应一条条谱线。或者说，带宽按频率分辨率来划分，划分了很多等份，每个等分处为一条谱线，如下图中的虚线所示，这些谱线处的频率是频率分辨率的整数倍。若带宽为400Hz，频率分辨率为1Hz，则有400条谱线，频率对应1-400之间的自然数。FFT计算得到的结果只分布在这些谱线上，其他地方没有数值。这些谱线并不是真实的线条，而只是代表在这个位置有一个FFT计算数值。

谱线

线谱是指信号的频率成分近似一条直线，如对正弦波做FFT分析，如果信号截断刚好是周期的整数倍，那么，得到的频谱结果就是线谱，如下图所示，线谱是从频谱的形状上来说的。

14. 时间分辨率与频率分辨率

对时域信号进行采样时，两个采样点之间的时间差称为时间分辨率，大小等于采样频率的倒数。因此，采样频率越高，时间分辨率越高，采集到的信号越接近真实信号。

频率分辨率是指两条离散谱线之间的距离（即频率间隔），其大小为一次FFT所取时域信号长度（一帧数据）的倒数。在进行频谱计算时，信号的频率误差在半个频率分辨率之内。因此，为了获得准确的频率值，应该提高频率分辨率。提高频率分辨率则要求FFT分析时截取更长的时域信号。

15. 平均

平均是指对各帧时域数据的频谱（图中的S表示FFT频谱）进行平均，最后得到平均的频谱结果。对瞬时频谱进行平均时，不是最后才进行平均，而是边计算边进行平均。如下图所示，第一帧数据的频谱结果S1与第二帧数据的频谱结果S2进行第一次平均得到平均的结果A1，然后A1再与第三帧数据的频谱结果S3进行第二次平均，得到结果A2，如此进行，直到与最后一帧数据的频谱结果进行平均，得到最终的结果为止。

频谱平均示意图

平均的方式有很多种，如线性平均、能量平均、指数平均等，每一种平均方式计算公式都是不一样的，因此，做FFT平均时，还需要选择合适的平均方式。

16. 重叠与步长

FFT分析只能对有限长度的时域信号进行变换，当频率分辨率确定以后，每次FFT变换的时域数据块长度是固定不变的，或者说一帧数据的长度（Frame Size）是固定的，等于频率分辨率的倒数。因此，FFT分析所截取的时域信号长度是固定的，但每次如何截取这一段固定长度的时域信号，就可能会采用不同的方式了。常见的方式有重叠和步长（时间步长或转速步长）。

如果采用重叠的方式，通常用百分比来表示重叠，表示相邻两帧数据之间重叠的比例。如重叠50%，表示这一帧的信号将与下一帧的信号有50%是共用的。也就是第一帧的后50%作为第二帧的前50%。

如果用步长(increment)的方式，又分为时间步长和转速步长，在这以时间步长为例进行说明。我们每截取的一帧数据时间长度是固定的，但是隔多长时间截取一帧呢？这个隔多长时间截取一帧，就是所谓的步长或增量，如下图所示。

当步长小于frame size时，相邻两帧数据之间有重叠，重叠率计算公式如下

重叠率 = (frame size – increment)/frame size *100%

当步长等于frame size时，相邻两帧数据之间无重叠，但两帧数据刚好无缝连接。

当步长大于frame size时，相邻两帧数据之间无重叠，但两帧数据之间有间隙，也就是有部分时域数据是不参与FFT计算的。

若频率分辨率为1Hz，时间步长为0.5s，则重叠率为50%，因此，实质上重叠与步长只是不同的表示方式，本质上是相同的。

如果用转速步长方式，则表示转速每变化多少截取一帧数据，如转速每变化40RPM截取一帧。按转速步长时每帧数据的重叠情况与时间步长类似，此时与转速改变速率有关。

17. 稳态与跟踪

FFT分析时有两种模式：稳态和跟踪。稳态模式得到的结果为所有帧时域数据对应频谱的平均结果，且是一张二维频谱图。但跟踪模式不作平均，分别计算各帧时域数据对应的频率，将这些频谱按时间或转速先后顺序排列保存起来，每个瞬时频谱也是一张二维频谱，但如果要显示所有的频谱结果，则需要用瀑布图或colormap图来显示跟踪模式的结果。

18. 自谱与互谱

自谱也称为自功率谱，本质是由频谱计算得到的，它是复数频谱乘以它的共轭。因此，自谱是实数，没有相位信息。由于它是实数，因此可以进行线性平均。由于是复数频谱与它的共轭的乘积，因此自谱有平方形式，平方形式的自谱称为自功率谱。对平方形式的自谱再求平方根，对应为线性形式，称为线性自功率谱。

线性自功率谱是最常用的，因为对于窄带信号而言，用它来表示是最合适，原因见文章《谱线是怎样影响随机信号和周期信号的PSD或自谱的？》。因此，绝大多数情况，测量的信号都是窄带信号，因此它是很多商业软件默认的谱函数形式。

互谱也是通过频谱计算得到的，但是是一个信号的频谱乘以另一个信号的频谱的共轭得到，它的结果为复数形式，有幅值和相位信息，任一频率下的相位为两个信号的相位差。因此，计算互谱时，一定是两个信号。互谱只有平方形式，因此，互谱一定是互功率谱。如果对互谱进行线性平均，两个信号不相关的成分将会被弱化。

互功率谱蕴涵两个信号之间在幅值和相位上的相互关系信息。它在任意频率处的相位值，是这两个信号在该频率的相对相位（相位差），因此，可用于研究两个信号的相位关系。另一方面，相位移动，表示的是时间移动，因此，可利用互谱检测和确定信号传递的延迟。

自谱与互谱的一个典型应用是计算频响函数FRF和相干。如进行H1估计时，用的是响应与激励的互谱除以激励的自谱，而H2估计刚好相反，用的是响应的自谱除以响应和激励的互谱。

19. 自相关与互相关

自相关函数描述信号某瞬间数值与另一瞬时数值的依赖关系，由于自相关是偶函数，函数值可正可负，但在0时刻有最大值。这个最大值为信号的均方值。自相关函数是时域分析方法，它与自谱是一对傅立叶变换对。由于自相关在时间轴上是偶函数，当取时间大于0的一半来计算频谱时，得到的频谱称为半谱。自相关可用于检测混淆在无规则信号中的周期信号。

两个信号的互相关函数表示这两个信号之间一般的依赖关系，互相关函数也是一个可正可负的函数，不一定在0时刻处有最大值，也不一定是偶函数，但如果两个信号互换时，函数对称于纵轴。互相关与互谱是一对傅立叶变换对。若两个信号是两个相互独立的信号，则它们的互相关函数为零。反之，若互相关函数不等于零，则可用相关函数来表述它们的相关性。

20. 相关分析与相干分析

通过上面的描述，我们已经明白相关分析是时域的分析方法，用于检测信号中的相关性。实旨上，相关分析是一种线性滤波。相关分析主要应用于以下几个方面：（1）对信号本身的分析，主要找出隐藏于不规则信号中的规律信号；（2）求两个信号之间的关系；（3）系统动态特性的测量；（4）以相关函数为基础，进行FFT变换计算自功率谱和互功率谱。

相干函数定义为输入和输出信号的互功率谱的平方除以输入信号自功率谱和输出信号自功率谱的乘积。因此，相干分析是频域的分析方式，可用于检验互功率谱和传递函数测量的有效性。

二者有一定的联系：用时域内互相关函数获得的信息，可以用频域的相干函数来获得。这是因为相干分析时用到的互功率谱函数可以由时域互相关函数得到。

21. 阶次分析与阶次跟踪

阶次分析是从频域对阶次进行分析，但阶次跟踪是从阶次域对阶次进行分析。虽然二者最终的目的都是提取到想要的阶次，但又有太多的差异。阶次跟踪更偏向于对高阶次进行分析，如齿轮箱、离合器等结构。二者都需要测量转速，但阶次分析的转速是用来跟踪做频谱分析的，阶次跟踪测量转速是为了获得等角度采样数据；阶次分析是频域的，阶次跟踪是阶次域的；阶次分析是等时间采样的，阶次跟踪是等角度采样的（变采样频率）；阶次分析对于共振测量是有帮助的，但阶次跟踪却起不到这个作用；对于高阶次而言，阶次分析效果不如阶次跟踪好；阶次分析时频率分辨率固定不变，阶次跟踪时阶次分辨率固定不变；阶次跟踪不存在泄漏，无须加窗，但阶次跟踪需要加窗。

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